Η ευθεία y=αx+β, σχεδίαση-καθετότητα-παραλληλία.

Χρόνια πολλά σε όλους (Χριστούγεννα σήμερα 25-12-2013)και να περνάτε καλά και να είστε πάντα χαρούμενοι και με το χαμόγελο στα χείλη(το αντίδοτο  για την κρίση είναι η αισιοδοξία και η ελπίδα για ένα καλύτερο αύριο).

Η ευθεία y=αx+β για να σχεδιαστεί χρειαζόμαστε δυο οποιαδήποτε σημεία της οπότε θέτουμε στο χ δυο τιμές  και βρίσκουμε τα αντίστοιχα y όπως στο παράδειγμα που ακολουθεί:
έστω η συνάρτηση y=2χ+1
για χ=0 έχω y=1 έτσι έχω το σημείο της ευθείας A(0,1)
για χ=1 έχω y=3 έτσι έχω το σημείο της ευθείας Γ(1,3)
βρίσκω τα σημεία αυτά ,ενώνω και προεκτείνω εκατέρωθεν και έτσι έχω κατασκευάσει την γραφική παράσταση της ευθείας μου.

εναλλακτικά μπορούσαμε αντί για χ=1 να θέταμε y=0 οπότε θα βρίσκαμε χ=-1/2 και άρα το σημείο Η(-1/2,0) και θα ενώναμε το Η με το Α και φυσικά θα καταλήγαμε στην ίδια ευθεία. 

Όμοια αν ξέραμε όχι την εξίσωση της ευθείας αλλά τον συντελεστή διεύθυνσης α=2 και ένα σημείο της π.χ το σημείο Δ(1,3) επειδή το Δ είναι σημείο της ευθείας θα επαληθεύει την συνάρτησή της άρα 3=2+β και έτσι β=1 και η συνάρτησή της είναι η y=2x+1 και μετά βρίσκουμε ακόμη ένα σημείο της και την σχεδιάζουμε.

Αντίστροφα από μια γνωστή γραφική παράσταση ευθείας μπορούμε να βρούμε διάφορα πράγματα όπως:

• την εξίσωσή της π.χ. στο σχήμα για χ=1 έχω y=3 άρα 3=α.+β (1) και για χ=0 έχω y=1 άρα 1=β και η (1) μας δίνει α=2 άρα y=2x+1
• την κλίση α( συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας) είτε με τον προηγούμενο τρόπο είτε με τον τύπο α=Δy/Δχ=(1-3)/(0-1)=-2/-1=2
• το y που αντιστοιχεί σε γνωστό χ π.χ για -1 y=; βλέπω από την γραφική παράσταση ότι σε χ=-1 αντιστοιχεί y=-1 , όμοια μπορώ να βρω το χ που αντιστοιχεί σε γνωστό y π.χ σε y=5 αντιστοιχεί χ=2                                                                                                                                                    

Με ίδιο τρόπο έχουμε την γραφική παράσταση μιας ευθείας με α<0 π.χ της y=-2x-4 

Προσοχή :

ευθείες παράλληλες έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης (και αντίστροφα) ενώ

 ευθείες κάθετες έχουν γινόμενο συντελεστών διεύθυνσης ίσο με -1.

στο σχήμα η ευθεία y=-x-2 είναι κάθετη και με τις τρεις άλλες που έχουν συντελεστή διεύθυνσης α=1 (και φυσικά είναι μεταξύ τους παράλληλες)

ΓΙΑ ΝΑ ΕΞΑΣΚΗΘΕΊΤΕ: 

κάντε στο ίδιο χαρτί μιλιμετρέ τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

ψ=2χ-4 

ψ=2χ+4

ψ=-0,5χ+1 και

ψ=-0,5-1

απαντήστε στις ερωτήσεις:(στα σχόλια οι απαντήσεις ή τυχόν παρατηρήσεις)

1)ποια ζεύγη  συναρτήσεων  έχουν γρ. παραστάσεις παράλληλες ευθείες; και 

2)ποια ζεύγη  συναρτήσεων έχουν  γραφικές τους ευθείες κάθετες μεταξύ τους;